如何用小朋友的积木来讲解数学公式

#前情摘要：在无法回答孩子问题的时候，怎样进行“未知”教育?（点击阅读：UFO视频被证实，如何给孩子解释世界上的未知？）

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五一前我们做的调研中，大家当时的设想是这样的：

五一假期的时候，我们闲聊数学启蒙教育中的数形结合（点击阅读：数学启蒙中的数形结合（顺便做个智力题）），没想到大家对中间作为引申例子的几个积木形状比较感兴趣，今天就解释一下：

这位同学问为什么摆了三个正方形，而不是用长度为3-4-5的积木摆直角三角形就可以了。

因为这个图用来说明勾三股四弦五，不是用3-4-5拼直角三角形，而是来验证勾股定理=直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（a²+b²=c²）。而3、4、5 恰好是这里最小的整数解。

而边的平方，就是对应正方形的面积，拼出下面的三个正方形，然后将两个小正方形的方块们，重新组合，正好和大正方形一样（9+16=25），这就是勾股定理最直观的展示了。

相比勾股定理，摆的其他几个公式解读起来相对复杂一点。比如这个数列求和公式的图：1+3+5+7+9+…+(2n-1)=n² 

这是一个总会遇到的求和公式：从1开始将奇数相加，1+3+5... 总共加几个，总和就是几的平方。比如1=1²，1+3=2²，1+3+5=3²......

这其实可以用积木很形象的表示出来：

这是1：

这是1+3:

这是1+3+5：

这是1+3+5+7：

其实我们可以看到，正方形边长增加1，就相当于原先的正方形外面再多一个“𠃊”形。每个“𠃊”其实都是比上一个“𠃊”多了2，恰好就是新的一个奇数。所以1开始的n个奇数的数列求和，其实就是在算一个边长为n的正方形的面积：n² 。

这样看，可能更清楚些：

另外一个公式是(a+b)²=a²+2ab+b²，这个摆起来比较简单：

蓝色的长度为a，红色为b，下面这个大的正方形边长就是(a+b)，这个大正方形的面积就是(a+b)²。

我们再把这个正方形拆成四部分，一个边长为a的蓝色正方形，一个边长为b的红色正方形，两个边长分别是a和b的长方形。这四个部分分别的面积是a²，b²，ab和ab。也就是a²+2ab+b²。

分开和组合的面积不变，因此(a+b)²=a²+2ab+b²。

还有一个图是让大家感知1、2以及神奇的无理数√2（根号2）之间的关系

就是图中的三个正方形的边长，这三个正方形的面积恰好是1:2:4，所以边长就是1：√2：2

其实我们日常生活中总遇到的一个纠结就是：我们很容易判断出长度2倍差别是多少，但是对于面积2倍，也就是边长√2倍就有点恍惚，其实就是下面这个比例：

嗯，最后忍不住又想啰嗦一下，大家都知道√2是无理数，也就是说它无法表示分数a/b（a，b都是整数），只能是个无限不循环小数。那怎么证明√2是无理数呢？

证明√2是无理数的方法很多，但最著名的一个就是希伯斯解法。这位古希腊数学家因为证明了根号2是无理数，得罪了自己的老师 ——当时最著名的数学家，宣称世界上只有整数和分数的毕达哥拉斯，最终在逃亡之路上被师兄弟们抓住扔进了地中海。

这个作死的解法，其实就是用到前面图上面那三个1：√2：2的正方形。是怎样的呢？我们就解释一下。这里用到正方形面积、奇数、偶数、公因数、最简分数、约分，最高也就是小学5年级的知识点，不许说看不懂！

我们假设√2可以表示成分数，它的最简分数是√2=a/b（也就是说a，b都是整数，而且a和b的公因数是1，这个分数不能再简化了）。

所以下面图中，右边正方形的边长就是a，中间黄色正方形的边长是b，a的面积是b的2倍，a²=2b²。a是2的倍数所以是偶数。因此b只能是奇数——如果a、b都是偶数，就不是最简分数了，需要继续约分。

c=a/2，因为a是偶数，所以c是偶数的一半也是整数，我们可以把a分为四个小紫色正方形，边长就是整数c。紫色正方形的面积是大正方形的1/4，是黄色正方形的1/2。

a²=2b²=4c²，所以b²=2c²。

这就绕回到前面了，因为c也是整数，所以b也只能是偶数。和论证的前面b是奇数产生了矛盾。

因为偶数边长正方形可以不断的分成4个更小的整数正方形，因此这就陷入死循环，永远找不到最简分数√2=a/b。

希伯斯就是想明白了这个事情，于是发现了无理数的存在，被扔进了海里。你想明白了么？想明白的话，以后去地中海玩的时候，尽量别坐邮轮了哦。

当然今天的内容不是说要给学龄前的小朋友讲如何算数列求和或者证明无理数的存在。我们只是用这几个例子，跟大家说明“数形结合”对于数学教育的重要性，但可惜的是，数形结合一直是中国教育中缺少，甚至被主动规避的内容。

因为对于应试教育来说，如何快速解答考卷，比如何形象深刻的理解数学更重要。这就是为什么很多老师和家长，恨不得刚上小学就教孩子方程式的原因。方程式这类技巧虽然可以快速有效提升答题效率，但过早的引入，对于正在搭建数学认知基础的小朋友来说，造成的负面影响可能是终身的。

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